Horas / Semana: 4 hrs. Teoría, 4 hrs Lab.

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado

OBJETIVO GENERAL: Presentar de manera rigurosa los conceptos y resultados básicos del Cálculo Diferencial e Integral en espacios euclideanos así como una introducción a la Teoría de la Medida e Integral de Lebesgue.

1. Topología básica en espacios métricos.
1.1 Definición de espacio métrico y ejemplos.
1.2 Conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, cerradura, densidad, compacidad.
1.3 Compacidad en R y el Teorema de Heine Borel
1.4 Convergencia de Sucesiones en espacios métricos.

2. Funciones, Límites y Continuidad.
2.1 Definición de límite y propiedades.
2.2 Continuidad y Continuidad Uniforme.
2.3 Propiedades de las Funciones Continuas.

3. La Integral de Riemann-Stieltjes.
3.1 Definición de integral de R-S y propiedades básicas.
3.2. Integración por partes y cambio de variable en la integral de R-S..
3.3 Reducción a una integral de Riemann.
3.4 El Teorema Fundamental del Cálculo.
3.5 Curvas Rectificables.

4. Sucesiones y Series de Funciones.
4.1 Convergencia Puntual y Convergencia Uniforme.
4.2 Convergencia Uniforme y Continuidad, Integrabilidad, Derivavilidad.
4.3 Equicontinuidad y el Teorema de Arzelá-Azcoli.
4.4 El Teorema de Stone-Wierstrass.

5. Diferenciación.
5.1 La Diferencial de Funciones de Rn en Rm.
5.2 La Regla de la Cadena.
5.3 El Principio de Contracción.
5.4 El Teorema de la Función Inversa.
5.5 El Teorema de la Función Implícita.

6. Medida e Integral de Lebesgue en R.
6.1 Medida Exterior de subconjuntos de R.
6.2 Medibilidad y Medida de Lebesgue.
6.3 Funciones Medibles.
6.4 La Integral de Funciones Acotadas en Conjuntos de Medida Finita.
6.5 La Integral de Funciones no negativas.
6.6 La Integral General de Lebesgue.
6.7 Teoremas de Convergencia.