Horas / Semana: 4 hrs. Teoría, 4 hrs Lab.

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado

OBJETIVO GENERAL: Introducir al estudiante en el estudio de la Teoría de Probabilidad con un enfoque formal, que le permita profundizar en la disciplina y le proporcione la herramienta básica para cualquier trabajo posterior relacionado con sistemas aleatorios.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Presentar de manera rigurosa los conceptos de espacio de probabilidad, elementos aleatorios, independencia, esperanza, etc., así como resultados básicos de convergencia.

2. Independencia
2.1 Independencia de clases de eventos
2.2 Independencia de variables aleatorias
2.3 Lema de Borel-Cantelli
2.4 Ley 0-1 de Borel
2.5 Ley 0-1 de Kolmogorov

3. Integración y esperanza
3.1 Funciones simples
3.2 Medibilidad y funciones simples
3.3 Integración de funciones medibles y esperanza de variables aleatorias
3.4 Propiedades básicas de la esperanza de variables aleatorias
3.5 Límites y esperanza; Teoremas de convergencia
3.6 Esperanza de variables aleatorias como integrales en R
3.7 Densidades
3.8 Espacios producto
3.9 Medidas de probabilidad en espacios producto
3.10 Teorema de Fubini

4. Conceptos de convergencia
4.1 Convergencia casi segura
4.2 Convergencia en probabilidad
4.3 Convergencia en
4.4 Desigualdades de Schwartz, Hölder, Minkowsky y Chevychev
4.5 Relaciones entre los conceptos de convergencia

5. Leyes de los grandes números y sumas de variables aleatorias independientes
5.1 Ley débil general de los grandes números
5.2 Convergencia casi segura de sumas de variables aleatorias independientes
5.3 La ley fuerte de los grandes números para sucesiones de variables aleatorias i.i.d.
5.4 El Teorema de las tres series de Kolmogorov

6. Convergencia en distribución
6.1 Definiciones básicas
6.2 El Lema de Scheffé
6.3 El Teorema de Skorohod
6.4 Equivalencias de la convergencia débil
6.5 Relaciones entre convergencia débil y otros modos de convergencia

7. Funciones características y el Teorema del Límite Central
7.1 Funciones características; Definición y propiedades básicas
7.2 Momentos y derivadas de la función característica
7.3 Teorema de Unicidad y Teorema de Continuidad
7.4 Tensión, compacidad relativa y el teorema de Prohorov
7.5 El Teorema del Límite Central para variables aleatorias i.i.d.
7.6 El Teorema del Límite Central de Lindeberg-Feller

M. Adams and V. Guilleman, Measure Theory and probability. Birkhäuser, 1996

R.B. Ash, Real Analysis and Probability. Academic Press, 1972

P. Billinsgley, Probability and Measure. John Wiley and Sons, 1979

L. Breiman, Probability. John Wiley and Sons, 1971

K.L. Chung, A course in Probability Theory. Academic Press, 1974

R. M. Dudley, Real Analysis and Probability. Wadsworth and Brooks/Cole, 1989

R. Durret, Probability: Theory and Examples. Wadsworth and Brooks, Pacific Crove CA, 1991

S.I. Resnick, A Probability Path. Birkhäuser, 2001

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