Horas / Semana: 4 hrs. Teoría, 4 hrs Lab.

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado

OBJETIVO GENERAL:
Familiarizar al estudiante con las principales estructuras algebraicas, de tal manera que pueda aplicar este conocimiento en otras áreas de la matemática, y al mismo tiempo, que le sirva de base para un estudio más profundo del álgebra.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Al terminar el curso, el alumno:
• Será capaz de definir las estructuras algebraicas de grupo, anillo, campo y módulo sobre un anillo. Deberá dar ejemplos de cada una de estas estructuras.
• Distinguirá diferentes clases de grupos de acuerdo a su orden y a su estructura interna.
• Definirá subgrupo normal y entenderá su importancia en la teoría de grupos.
• Definirá el concepto de homomorfismo de grupos y entenderá su importancia.
• Distinguirá diferentes clases de anillos de acuerdo a su estructura interna.
• Definirá el ideal (bilateral) de un anillo y entenderá su importancia en la teoría de anillos.
• Definirá el concepto de homomorfismo de anillos y entenderá su importancia.
• Será capaz de definir los conceptos principales de la Teoría de Galois, tales como extensión algebraica, cerradura algebraica, campo de descomposición y grupo de Galois de un polinomio, extensión de Galois, extensiones separables y normales, etc.
• Enunciará y demostrará el Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.
• Enunciará y demostrará el Teorema Fundamental del Álgebra.
• Aplicará la teoría de Galois a la teoría de ecuaciones algebraicas y a problemas de constructibilidad con regla y compás.
• Demostrará la no solubilidad de los tres problemas clásicos griegos: Cuadratura del Círculo, Duplicación del Cubo y Trisección del Ángulo.
• Distinguirá diferentes clases de módulos de acuerdo a su estructura interna.
• Definirá el concepto de homomorfismo de módulos y entenderá su importancia.
• Aplicará la teoría de módulos para resolver problemas de álgebra lineal.

Parte I. Teoría de Grupos.

1. Definición de Grupo.
• Operaciones Binarias y Asociativas.
• Grupos.
• Ejemplos.
• Orden de un grupo.

2. Subgrupos.
• Definiciones y ejemplos
• Clases Laterales.
• Teorema de Lagrange.

3. Subgrupos Normales y Grupos Cociente.
• Definiciones y ejemplos
• Teorema de Caracterización para los grupos normales.

4. Homomorfismos de Grupos y Teoremas Fundamentales.
• Homomorfismo, Núcleo y Propiedades.
• Teorema Fundamental de Homomorfismo.
• Otros Teoremas de Homomorfismo.

5. Acciones de Grupos en Conjuntos.
• Definiciones y Ejemplos.
• Estabilizadores y Orbitas.
• Ecuación de Clase.
• Aplicaciones.
• Teorema de Cayley.

6. Grupos de Permutaciones.
• El Grupo Alternante .
• Generación de y de .
• Simplicidad de para .
• La no solubilidad de para .

7. Teoremas de Sylow.
• p-grupos.
• p-subgrupos de Sylow y Teoremas de Sylow.

8. Grupos Solubles.

9. Grupos Nilpotentes.

10. Teorema de Jordan-Hölder.

Parte II. Teoría de Anillos.

11. Anillos.
• Definición de Anillo y Ejemplos.
• Subanillos.

12. Algunas Clases Especiales de Anillos.
• Dominios Enteros.
• Anillos de División.
• Campos.

13. Ideales y Homomorfismos de Anillos.
• Ideales y Anillos Cociente.
• Teorema Fundamental de Homomorfismo para Anillos.
• Otros teoremas de homomorfismo para anillos.

14. Anillos Conmutativos.
• Ideales Primos.
• Ideales Maximales.
• Teorema Chino del Residuo y Aplicaciones.

15. Localización y Campo de Fracciones de un Dominio Entero.

16. Dominios Euclideanos, Dominios Principales y Dominios de Factorización Única.

17. Anillos de Polinomios en una Variable.
• Algoritmo Euclideano.
• Raíces; Teorema del Residuo; Teorema del Factor.
• Fórmula de Interpolación de Lagrange.
• Polinomios Primitivos.
• Criterios de Irreducibilidad.

18. Polinomios en varias Variables.

Parte III. Teoría de Galois.

19. Extensiones de Campos.

20. Extensiones Algebraicas y Cerradura Algebraica.

21. El Teorema Fundamental de la Teoría de Galois.

22. Extensiones Separables.

23. Extensiones Normales.

24. El Teorema Fundamental del Álgebra.

25. La Teoría de Galois de Ecuaciones.
• Extensiones Ciclotómicas.
• Extensiones Radicales
• Criterio Solubilidad de Ecuaciones por Radicales.

26. Construcciones con Regla y Compás.
• Números construíbles. Ejemplos.
• Los tres problemas clásicos griegos.

Parte IV. Teoría de Módulos.

27. Definición de Módulo y Ejemplos.

28. Submódulos.

29. Homomorfismos y Módulos Cociente.
• Teorema Fundamental de Homomorfismo para Módulos.
• Otros teoremas de homomorfismo para módulos.

30. Módulos Finitamente Generados.
• Módulos Noetherianos.
• Módulos Cíclicos.

31. Sumas Directas y Módulos Libres.
• Módulos de Torsión.

32. Módulos Finitamente Generados sobre un Dominio Principal.

33. Aplicaciones al Álgebra Lineal.
• Forma Canónica Racional.
• Forma Canónica de Jordan.

Comentarios sobre la bibliografía.

Los textos [1], [2] , [3] y [4] son básicos y en ellos se puede encontrar todo el material del curso; al mismo tiempo, podemos encontrar en éstos una presentación moderna del álgebra abstracta. Los otros textos son también valiosos y resultan ser complementarios a los ya mencionados. En especial, la referencia [9] es importante por la gran cantidad de problemas interesantes que se proponen.