Horas / Semana: 4 hrs. Teoría, 4 hrs Lab.

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado

Objetivos generales.
1.-Familiarizar al estudiante con los conceptos básicos y métodos de cálculo necesarios para el estudio y comprensión de la geometría diferencial moderna;

Objetivos específicos.
1.-Familiarizar al estudiante con el concepto de variedad diferenciable y las distintas estructuras asociadas;
2.-Familiarizar y crear habilidades en los conceptos y operaciones del cálculo diferencial e integral en variedades;
3.-Proporcionar los elementos y principales resultados sobre grupos y álgebras de Lie;
4.-Familiarizar al estudiante con los elementos de la geometría riemanniana.

1. Variedades Diferenciales.
1.1 Cartas y atlas. Estructuras diferenciables
1.2 Ejemplos de variedades diferenciales. Orientabilidad.
1.3 Subvariedades. Producto cartesiano y Cocientes.
1.4 Funciones y mapeos en variedades. Particiones de la unidad.
1.5 El haz tangente y haz cotangente.
1.6 Campos vectoriales. Derivada de Lie y Corchete de Lie.
1.7 Grupos 1-parametrizados de difeomorfismos.

2. Cálculo en variedades
2.1 Formas diferenciales. Producto cuña, producto interior.
2.2 Operaciones de Pull back y push forward para formas.
2.3 Derivada Exterior. Fórmula de Cartan.
2.4 Formas cerradas y exactas. Lema de Poincare
2.5 Derivada de Lie y Formula de homotopía.
2.6 Variedades con frontera.
2.7 Integración en variedades. Teorema de Stokes.

3. Grupos de Lie.
3.1 Definición y ejemplos simples.
3.2 Álgebra de Lie y Constantes de Estructura.
3.2 Mapeo exponencial.
3.3 Grupos SO(3), U(2), Sp(2).

4. Variedades Riemannianas.
4.1 Tensor métrico y coordenadas ortogonales.
4.2 Teorema de existencia de estructuras Riemannianas.
4.3 Integración en variedades Riemannianas. Formas volúmenes.
4.4 Gradiente y Divergencia. Teorema de Gauss.