TOPOLOGÍA I

DATOS GENERALES DE LA ASIGNATURA
Nombre: Topología I
Clave: B8
Carácter: Asignatura Básica
Área: Matemáticas
Créditos: 12
Lugar: Unidad Centro
Fecha de Elaboración: Enero del 2003

 

UBICACIÓN Y SERIACIÓN DE LA ASIGNATURA
Total de Horas: 135

Horas / Semana: 4 hrs. Teoría, 4 hrs Lab.
Semestre:
Asignaturas Anteriores:
  
 

 

PERFIL ACADÉMICO PARA EL RESPONSABLE DE LA ASIGNATURA

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado

 

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA


OBJETIVOS GENERALES:

El alumno adquirirá los conocimientos generales de la Topología de Conjuntos y mostrará habilidad en el manejo de esta teoría que le permitan incursionar en alguna de las líneas de investigación de la Topología, o bien, utilizarla en otras ramas de las Matemáticas y así tener una formación integral.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

El alumno conocerá los elementos de las n-variedades y un estudio muy particular y completo de las 2-variedades, así como también de los Espacios Contractibles.

El alumno conocerá la teoría del Grupo Fundamental y su relación con los Espacios Cubrientes.

Comentario: Todos los elementos antes mencionados, son básicos para un curso de Topología II en cualquiera de sus orientaciones, a saber: Topología Algebraica, Topología Diferencial, Topología en dimensiones bajas (en particular Teoría de Nudos) y Topología General de Conjuntos.

 

TEMARIO:

CAPITULO I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

1.1 Espacios Topológicos, vecindades y sistemas fundamentales de vecindades.
1.2 Puntos Interiores, de acumulación, de cerradura y puntos aislados. Interior y Frontera.
1.3 Bases y Sub-bases. Topología Relativa.
1.4 Continuidad. Mapeos abiertos y cerrados. Homeorfismos.
1.5 Topologías inducidas por funciones. Productos arbitrarios de espacios. Proyecciones y secciones. Propiedad universal del producto. Espacios cociente y propiedad universal del cociente.
1.6 Axiomas de numerabilidad y separación (conjuntos densos, separables, espacios 1º y 2º numerable, Espacios T0, T1, T2, regulares, normales y completamente regulares).
1.7 Lema de Uryshohn y Teorema de Tietze.
1.8 Espacios compactos. Productos y compacidad. Propiedades locales. Compactificación por un punto.
1.9 Espacios conexos. Conexidad relacionada con uniones, cerradura y producto. Propiedades locales y espacios conexos por trayectorias.

CAPITULO II: VARIEDADES BIDIMENSIONALES, DEFORMACIONES Y CONTRACCIONES.

2.1 n-variedades y ejemplos. Variedades orientables y no orientables.
2.2 Ejemplos de variedades bidimensionales conexas y compactas. Suma conexa.
2.3 Triangulación de superficies compactas y característica de Euler.
2.4 Frontera de una superficie; borde de una variedad.
2.5 Clasificación de 2-variedades con borde, conexas y compactas.
2.6 Deformaciones y ejemplos. Retracciones y Homotopía.
2.7 Espacios contractibles y su relación con las retracciones.

CAPITULO III: EL GRUPO FUNDAMENTAL Y ESPACIOS CUBRIENTES.

3.1 Construcción del Grupo fundamental.
3.2 Efectos de una aplicación continua en 1( , ). Espacios simplemente conexos.
3.3 Tipo de Homotopía y equivalencia homotópica de espacios.
3.4 El grupo fundamental de un espacio producto.
3.5 Espacios cubrientes y sus propiedades.
3.6 Levantamiento de homotopías.
3.7 Transformaciones cubrientes y cálculo del Grupo Fundamental de la circunferencia y
el Toro.
3.8 La acción del Grupo Fundamental sobre la fibra p-1 (x).
3.9 El Grupo Fundamental de un espacio cubriente.
3.10 La Relación Fundamental entre espacios cubrientes y subgrupos normales.
3.11 Cubrientes regulares y el cubriente universal.

CAPITULO IV: FUNCIONES EN ESFERAS (APLICACIONES).
4.1 Teorema del punto fijo de Brouwer.
4.2 Teorema Fundamental de Álgebra
4.3 Teorema de Borsuk-Ulam.
4.4 Teorema de Jordan.

 

MODALIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
El curso es de tipo teórico-práctico, esto es, horas de clase específicas cuyo objetivo
es cubrir la teoría, así como también, horas de trabajo enfocado a la realización de ejercicios que permitan entender y afianzar la teoría aprendida.

 

MODALIDAD DE EVALUACIÓN
El aprovechamiento del curso se evaluará mediante la realización de trabajo extra-clase (tareas periódicas), así como también, mediante la realización de exámenes parciales y/o examen final. Puede incluirse como elemento adicional para la evaluación, exposiciones realizadas por los alumnos, de tópicos relacionados con el curso y algunas de sus aplicaciones.

 

BIBLIOGRAFÍA
1. J.F. Adams, Algebraic Topology: A Students Guide, Cambridge University Press, 1972.
2. N. Bourbaki, General Topology, Addison-Wesley, 1967.
3. J. Dugundji, Topology, Allyn and Bacon, 1966.
4. M.J. Greenberg and J.R. Harper, Algebraic Topology: A First Course, Benjamin-Cummings, 1981.
5. Hocking. J.G. and Young, G.S., Topology, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1961.
6. J.K. Kelley, General Topology, Van Nostrand, 1955.
7. Kosniowski, C. Toplogía Algebraica, Ed. Reverté, S.A., 1986.
8. Lyra Carlos B. De, Grupo Fundamental E Revestimientos. 7º Coloqui Brasileiro de Matemáticas
9. W.S. Massey, Algebraic Topology: An Introduction, Springer-Verlag, 1977.
10. Munkres, J.R., Topology a First Course, Prentice-Hall, Inc., 1975.
11. I.M. Singer an J.A. Thorpe, Lecture Notes on Elementary Topology and
Geometry, Springer-Verlag, 1976.
12. Spanier, E.H., Algebraic Topology, Mc Graw-Hill Book Co., 1956.
13. G.W. Whitehead, Elements of Homotopy Theory, Springer-Verlag, 1978.
14. Wallace, A.H., An Introduction to Algebraic Topology, Pergamon Press,1963.