VARIABLE COMPLEJA I

DATOS GENERALES DE LA ASIGNATURA
Nombre: Variable Compleja I
Clave: B3
Carácter: Asignatura Básica
Área: Matemáticas
Créditos: 12
Lugar: Unidad Centro
Fecha de Elaboración: Enero del 2003

 

UBICACIÓN Y SERIACIÓN DE LA ASIGNATURA
Total de Horas: 135

Horas / Semana: 4 hrs. Teoría, 4 hrs Lab.
Semestre:
Asignaturas Anteriores:
 

 

PERFIL ACADÉMICO PARA EL RESPONSABLE DE LA ASIGNATURA

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado

 

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

OBJETIVO GENERAL:
Proveer las herramientas básicas que permitan profundizar en esta área, o bien acceder a otras áreas de la Matemática que utilizan la Teoría de Funciones de Variable Compleja de manera relevante.


OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
Proporcionar los conocimientos básicos de la teoría de Funciones de una Variable Compleja, particularmente, el cálculo diferencial e integral de funciones complejas y sus aplicaciones a la topología, geometría y cálculo de funciones reales.

 

TEMARIO:

1. El campo de los números complejos.
1.1 Propiedades. Representación geométrica. Fórmula de De Moivre.
1.2 El plano complejo extendido. La esfera de Riemann.
2. Series de Potencias.
2.1 Convergencia de series. Criterios de convergencia.
2.2 Series de potencias. Disco de convergencia. Formula de Cauchy-Hadamard.
2.3 Teoremas de unicidad para series de potencias.
3. Funciones Analíticas.
3.1. Diferenciabilidad. Ecuaciones de Cauchy-Riemann.
3.2. Diferenciabilidad real vs. Diferenciabilidad compleja.
3.3. Propiedades de las funciones diferenciables. Diferenciación de series de potencias.
3.4. Funciones elementales: exponencial, trigonométricas, logaritmos, potencias complejas.
3.5. Mapeos Conformes.
3.6. Transformaciones de Möbius.
4. Integración.
4.1 Integrales de línea. Propiedades.
4.2 Teorema de Cauchy-Goursat.
4.3. Homotopía y Teorema de Cauchy. Indice de una curva cerrada.
4.4. Fórmula integral de Cauchy y sus consecuencias. Fórmula integral de Cauchy para derivadas. Teorema de Taylor. Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental del álgebra. Existencia de primitivas para funciones holomorfas en dominios simplemente conexos. Teorema de Morera. Holomorfía y armonicidad.
4.5. Teorema del modulo máximo y Lema de Schwarz.
5. Singularidades.
5.1. Teorema de Laurent.
5.2. Singularidades aisladas: singularidades removibles, polos y sus caracterizaciones, ceros y polos, singularidades esenciales, Teorema de Casorati-Weistrass.
5.3. Residuos y técnicas para su cálculo.
5.4. Teorema del Residuo.
5.5. Evaluación de integrales reales.
5.6. Principio del Argumento. Teorema de Rouché. Teorema de Hurwitz. Teorema del mapeo abierto. Teorema de la función inversa.

 

MODALIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE
El curso es de tipo teórico-práctico, esto es, horas de clase específicas cuyo objetivo
es cubrir la teoría, así como también, horas de trabajo enfocado a la realización de ejercicios que permitan entender y afianzar la teoría aprendida.

 

MODALIDAD DE EVALUACIÓN
El aprovechamiento del curso se evaluará mediante la realización de trabajo extra-clase (tareas periódicas), así como también, mediante la realización de exámenes parciales y/o examen final. Puede incluirse como elemento adicional para la evaluación, exposiciones realizadas por los alumnos, de tópicos relacionados con el curso y algunas aplicaciones.

 

BIBLIOGRAFÍA

L. V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.
J.B. Conway, Functions of one complex variable I, Springer-Verlag, 1978.
L.S. Hahn and B. Epstein, Classical Complex Analysis, Johns and Bartlet, 1996.
I.A Markushevich, Theory of functions of complex variable I, II. Prentice-Hall, 1967.
J.E. Marsden, Basic Complex Analysis, Freeman, 1973.
R. Silvermann, Complex Analysis with Applications, Prentice Hall, 1974.