PROGRAMA DE POSGRADO EN MATEMÁTICAS

División de Ciencias Exactas y Naturales

 

 

DATOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

Nombre: Análisis Funcional I

Clave: O1

Carácter:  Asignatura Optativa     

Área:  Matemáticas

Créditos:  12

Lugar:  Unidad Centro

Fecha de Elaboración: Enero de 2003

 

 

UBICACIÓN Y SERIACIÓN DE LA ASIGNATURA

Total de Horas:  135

Horas / Semana:  4 hrs. Teoría,

                              4hrs. Lab.

Semestre: 

Asignaturas Anteriores:

 

 

Análisis Matemático I

 

 

 

 

PERFIL ACADÉMICO PARA EL RESPONSABLE DE LA ASIGNATURA

 

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado

 

 

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

 

OBJETIVO GENERAL:

Poseer las herramientas mínimas que permitan al alumno incursionar en alguna de las directrices del Análisis,  o bien, acceder a otras ramas de la Matemática que utilizan nociones básicas del Análisis Funcional.

 

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Presentar las ideas básicas del Análisis Funcional Lineal, con énfasis en los resultados

fundamentales de la Teoría de Espacios de Banach y de Hilbert. Asimismo, dar una breve introducción a la Teoría de Espacios Localmente Convexos y Distribuciones de Schwartz.

 

 

TEMARIO

 

1. Espacios Normados.

1.1  Definición y ejemplos de espacios normados.

1.2  Espacios de Banach. Propiedades.

1.3  Productos, cociente y suma directa de espacios de Banach.

1.4  Completación de un espacio normado.

1.5  Normas equivalentes. Espacios de dimensión finita.

1.6  Operadores lineales en espacios normados. Acotamiento. Teorema de extensión lineal acotada.

1.7  Operadores lineales en espacios de dimensión finita.

1.8  Funcionales lineales. Teorema de Hahn-Banach. El espacio dual de C[a,b].

1.9  Espacios Reflexivos.

1.10 Topologías débiles en Espacios de Banach. Teorema de Banach-Alaoglu.

 

2. Teoremas fundamentales para operadores lineales en Espacios de Banach.

2.1 Teorema de categoría de Baire.

2.2  Principio de Acotamiento uniforme. Teorema de Banach-Steinhaus.

2.3  Teorema del mapeo abierto.

2.4   Teorema de la gráfica cerrada. Subespacios complementarios.

2.5   Aplicaciones.

 

3. Espacios con producto interior.

3.1  Espacios con producto interior. Espacios de Hilbert. Ejemplos y Propiedades.

3.2. Ortogonalidad. Teorema de Proyección.

3.3  Teorema de Representación de Riesz.

3.4  Conjuntos ortonormales. Proceso de Gram-Schmidt. Ejemplos.

3.5  Bases ortonormales. Teorema de Riesz-Fischer. Identidad de Parseval.

3.6  Teorema de isomorfismo para espacios de Hilbert.

3.7  Series Trigonométricas.

3.8  Suma directa de espacios de Hilbert.

 

4. Espacios localmente convexos y nociones de Distribuciones.

4.1  Espacios vectoriales topológicos.

4.2  Seminormas. Espacios localmente convexos. Propiedades.

4.3  Funcional de Minkowski.

4.4  Separación de hiperplanos.

4.5  Espacios de Fréchet. Espacios metrizables. Espacios normables.

4.6  Funciones de decrecimiento rápido. Distribuciones temperadas.

4.7  Límites inductivos.

4.8  El espacio de Distribuciones.

 

MODALIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

 

El curso es de tipo teórico-práctico, esto es, horas de clase específicas cuyo objetivo es cubrir la teoría, así como también, horas de trabajo enfocado a la realización de ejercicios que permitan entender y afianzar la teoría aprendida.

 

MODALIDAD DE EVALUACIÓN

       

 El aprovechamiento del curso se evaluará mediante la realización de trabajo extra-clase (tareas periódicas), así como también, mediante la realización de exámenes parciales y/o examen final. Puede incluirse como elemento adicional para la evaluación, exposiciones realizadas por los alumnos, de tópicos relacionados con el curso y algunas de sus aplicaciones.

 

BIBLIOGRAFÍA

 

Bachman and Narici, Functional Analysis, Dover Publ., 2000.

Barros-Neto, An introduction to the theory of distributions, Krieger Pub. Co., 1981.

Brezis, Analysis Funcional, Alianza Editorial, 1984.

J. Conway, A course on functional analysis, Springer, 1990.

Dunford and Schwartz, Linear operators, Part I: General Theory, Interscience, 1958.

E. Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1978.

Naylor and Sell, Linear Operator Theory in Engineering and Science, Springer-Verlag, 1982.

 

Reed and Simon, Functional Analysis I, Academic Press, 1972.

 

W. Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973.

Taylor and Lay, Introduction to functional analysis, Wiley, 1980.