DATOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

Nombre: Álgebra Moderna II

Clave: O7

Carácter:  Asignatura Optativa

Área:  Matemáticas

Créditos:  12

Lugar:  Unidad Centro

Fecha de Elaboración: Enero de 2003

UBICACIÓN Y SERIACIÓN DE LA ASIGNATURA

Total de Horas:  135

Horas / Semana:  4 hrs. Teoría,

                              4 hrs. Lab.

Semestre: 

Asignaturas Anteriores:

§  Álgebra Moderna I

PERFIL ACADÉMICO PARA EL RESPONSABLE DE LA ASIGNATURA

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado.

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

OBJETIVO GENERAL:

Introducir al estudiante a un estudio más profundo del álgebra a través de algunas estructuras algebraicas muy particulares y que son continuación natural del primer  curso de Algebra Moderna I. Con esto también se pretende que el estudiante adquiera una formación sólida en álgebra que le permita especializarse en esta área si es esa su intención.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Al terminar el curso, el alumno:

·       Será capaz de enunciar y demostrar los principales teoremas de caracterización para grupos abelianos.

·       Podrá definir los conceptos principales relacionados con representaciones de grupos finitos y mencionará algunas aplicaciones.

·       Enunciará algunos tipos de anillos importantes tales como anillos Noetherianos, anillos Artinianos, y sus propiedades.

·       Enunciará y demostrará algunos de los teoremas importantes del álgebra conmutativa.

·       Estudiará las álgebras de división sobre los reales.

·       Definirá los conceptos de categoría, funtor y morfismo.

TEMARIO

Parte I.  Tópicos Especiales de Teoría de Grupos.

1.  Grupos Abelianos Finitos.

·  Teorema Fundamental para Grupos Abelianos Finitos.

2.  Grupos Libres.

3.  Presentaciones de Grupos.

4.  Grupos Abelianos Libres.

5.  Grupos Abelianos Finitamente Generados.

·Teoremas de Caracterización.

6.   Representaciones de Grupos Finitos.

·  Representaciones de Grupos.

·  Caracteres de Grupos.

Parte II.  Algebra Conmutativa.

7.   El álgebra de grupo

8.   Módulos simples, módulos irreducibles y módulos completamente reducibles.

9.   Radical de Jacobson

10.  Teorema de densidad

11.  Anillos Noetherianos y Anillos Artinianos

Parte III.  Álgebras de División

12.  Algebras de División

·  Teorema de Frobenius sobre la clasificación de las álgebras de división reales.

Parte IV. Introducción al Estudio de Categorías

13.  Definición de Categoría y ejemplos.

14.  Funtores y homomorfismos naturales

15.  Morfismos

MODALIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

El modelo es el usual, pero debemos hacer algunas observaciones:

·         Se deberá procurar que cada clase sea de 90 minutos pues está probado que de esta manera se avanza a buen paso y se cubre mucho material.

·         Se deberá implementar una sesión semanal exclusivamente para la resolución de problemas (que pueden ser las dos horas de laboratorio que se contemplan para este curso).

·         Sería recomendable que el profesor implementara "proyectos de investigación" indivuduales para los estudiantes del curso. Estos proyectos pueden ser sobre temas que no se traten en el curso pero muy relacionados con el material que se cubre en éste.

·         Tareas semanales qu deberán ser evaluadas por el maestro o por un ayudante designado para el curso.

MODALIDAD DE EVALUACIÓN

 Para la evaluación recomendamos lo siguiente:

·         Exámenes parciales (al menos dos de ellos).

·         Evaluación de las tareas semanales.

·         Evaluación del "proyecto de investigación" para el que recomendamos que debe ser un escrito usando LaTeX de al menos diez páginas de extensión.

·         La evaluación final será la suma de las evaluaciones anteriores.  

BIBLIOGRAFÍA

[1]   Hungerford T. W.,  Algebra,  Springer, 1974.

[2]    Grove, L. C., Algebra, Academic Press, 1983

[3]    N. Jacobson, Basic Algebra, Vols. I & II, W. H. Freeman, San Francisco, 1980.

[4]    B. Hartley, T.O. Hawkes, Rings, Modules and Linear Algebra, University Printing   House, Cambridge, G. B., 1976.

[5]    O. Zariski, P. Samuel, Commutative Algebra, Vols. I & Vol. II, Springer, New York, 1960.

Comentarios sobre la bibliografía.

Los textos [1], [2] , [3] y [5] son básicos y en ellos se puede encontrar todo el material del curso; los primeros tres textos son importantes pues dan una presentación moderna del álgebra.