Universidad de Sonora

Unidad Regional Centro

 

PROGRAMA DE POSGRADO EN MATEMÁTICAS

División de Ciencias Exactas y Naturales

 

 

 

DATOS GENERALES DE LA ASIGNATURA

Nombre: Teoría de Conjuntos y Lógica

Clave: O6

Carácter:  Asignatura Optativa

Área:  Matemáticas

Créditos:  12

Lugar:  Unidad Centro

Fecha de Elaboración: Enero de 2003

 

 

UBICACIÓN Y SERIACIÓN DE LA ASIGNATURA

Total de Horas:  135

Horas / Semana:  4 hrs. Teoría,

                              4 hrs. Lab.

Semestre: 

Asignaturas Anteriores:

 

 

§   

 

 

 

 

PERFIL ACADÉMICO PARA EL RESPONSABLE DE LA ASIGNATURA

 

El señalado en la reglamentación universitaria para los programas de posgrado.

 

 

OBJETIVOS DE LA ASIGNATURA

 

OBJETIVO GENERAL:

Familiarizar al alumno con los conceptos que dan fundamento a las matemáticas y que comprenda la importancia de un estudio serio de los fundamentos de esta ciencia, al mismo tiempo que aprende el uso de algunas de las herramientas necesarias para llevar a cabo dicho estudio.

 

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Al finalizar el curso, el estudiante será capaz de:

· Enunciar y comprender algunas de las paradojas de la Teoría de Conjuntos de Cantor

· Enunciar los axiomas de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (TCZF)

· Discutir la importancia, así como sus limitaciones, de los axiomas de la TCZF

· Discutir la importancia del Axioma de Elección en la TCZF

· Definir los conceptos de ordinal y cardinal

· Entender la aritmética de los cardinales transfinitos

· Contrastar mediante ejemplos los diferentes tipos de razonamiento usados en las ciencias: deductivo, inductivo y por analogías.

· Resolver problemas de cálculo proposicional.

· Entender los tipos de demostraciones más usuales en las matemáticas mediante el cálculo proposicional.

· Definir los principales conceptos de la Teoría de Modelos.

· Aplicar la teoría de modelos para darle un aspecto formal a varios sistemas matemáticos

· Enunciar y discutir el Teorema de incompletitud de Gödel.

 

TEMARIO

 

I. Introducción

1.     Lógica y fundamentos de las matemáticas

2.     Razonamiento deductivo vs. razonamiento inductivo

3.     Las demostraciones en matemáticas

4.     El método axiomático en las matemáticas.

 

II. Teoría de Conjuntos

5.     Las paradojas de la Teoría de Conjuntos de Cantor

6.     Los axiomas de la Teoría de Conjuntos de Zermelo-Fraenkel

7.     El axioma de elección y algunas de sus equivalencias.

8.     Ordinales

9.     Cardinales

10.  Aritmética transfinita

 

III. Lógica Proposicional y reglas de inferencia

11.  Proposiciones lógicas

12.  Enunciados y conectivos lógicos

13.  Tablas de verdad

14.  Reglas de inferencia (modus ponendo ponens, modus tolledo tollens, modus tollendo ponens)

15.  Otras reglas de inferencia

16.  Demostraciones condicionales y demostraciones indirectas

17.  Tautologías

18.  Cuantificadores

 

IV. Introducción a la Teoría de Modelos

19.Lenguajes de primer orden

20.Cálculo de predicados de primer orden

21.Estructuras e Interpretaciones

22.Satisfacción y Verdad

23.Aplicaciones a sistemas matemáticos

24.Consistencia y completez

 

V. Teorema de Incompletitud de Gödel

 

 

 

 

MODALIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

 

El modelo es el usual, pero debemos hacer algunas observaciones:

·         Se deberá procurar que cada clase sea de 90 minutos pues está probado que de esta manera se avanza a buen paso y se cubre mucho material.

·         Se deberá implementar una sesión semanal exclusivamente para la resolución de problemas (que pueden ser las dos horas de laboratorio que se contemplan para este curso).

·         Sería recomendable que el profesor implementara "proyectos de investigación" indivuduales para los estudiantes del curso. Estos proyectos pueden ser sobre temas que no se traten en el curso pero muy relacionados con el material que se cubre en éste.

·         Tareas semanales qu deberán ser evaluadas por el maestro o por un ayudante designado para el curso.

 

 

MODALIDAD DE EVALUACIÓN

       

 Para la evaluación recomendamos lo siguiente:

·         Exámenes parciales (al menos dos de ellos).

·         Evaluación de las tareas semanales.

·         Evaluación del "proyecto de investigación" para el que recomendamos que debe ser un escrito usando LaTeX de al menos diez páginas de extensión.

·         La evaluación final será la suma de las evaluaciones anteriores.

   

 

BIBLIOGRAFÍA

 

[1]   Malitz, J. Introduction to Mathematical Logic, Springer, New York, 1979.

[2]   Videla, C. Un Curso de Lógica Matemática, Textos Nivel Avanzado 4, Aportaciones Matemáticas de la Sociedad Matemática Mexicana, 1995.

[3]   Suppes, P. Hill, S., Introducción a la Lógica Matemática, Reverté, México, 1984.

[4]   Manin, Y. A Course in Mathematical Logic, Springer, New York, 1977.

[5]   Agazzi, E. La lógica Simbólica, Herder, Barcelona, 1986.

[6]   Quine, W. V. Mathematical Logic, Harvard University Press, Cambridge, Mass. 1951.

[7]   Tarski, A. Logic, Semantics, Mathematics, Clarendon Press, Oxford, 1956.

[8]   Lipshutz, S. Teoría de Conjuntos y Temas Afines, McGraw-Hill, México.